BWP514: Höhere Analysis (mit Praktikum)

Wahlpflichtmodule

BWP514: Höhere Analysis (mit Praktikum)

Kurzporträt BWP514: Höhere Analysis (mit Praktikum)
Worum geht es? In diesem Modul werden mathematische Werkzeuge vertieft, die über die Grundlagenmodule hinausgehen. Studierende beschäftigen sich mit Vektoranalysis, Funktionentheorie und Funktionalanalysis und lernen, wie diese Gebiete technische Modelle präziser beschreibbar machen. In Übungen und Hausaufgaben werden die Methoden auf typische mathematische Fragestellungen aus den Ingenieurwissenschaften angewendet.
Wofür braucht man es? Diese Kompetenzen werden benötigt, um physikalische Felder, Laplace-Transformationen, Fourier-Reihen und numerische Verfahren theoretisch besser zu verstehen. Die Kompetenzen bilden eine Grundlage für wissenschaftliches Arbeiten, Simulation, Systemtheorie und anspruchsvollere technische Modellbildung.
Wieso ist es interessant? Viele technische Phänomene lassen sich erst mit weiterführender Mathematik wirklich durchdringen. Das Modul zeigt, wie abstrakte Konzepte zu Werkzeugen für Elektrotechnik, Simulation und angewandte Forschung werden.
Modulverantwortung

Prof. Dr. Steffen Goebbels

Lehrperson(en)

Prof. Dr. Steffen Goebbels

Verwendbarkeit
  • Bachelor Elektrotechnik
  • Bachelor Maschinenbau
  • Bachelor Mechatronik und Robotik
Fächergruppe

Ingenieurwissenschaften

Modultyp
Wahlpflicht
Sprache

Deutsch

Angebot

jährlich

Dauer

1 Semester

Credits

5 ECTS

Benotung

Deutsche Notenskala 1-5

SWS

2 V | 1 Ü | 1 P | - S

Workload
Präsenzstudium: 45 Std. Selbststudium: 90 Std.
Engl. Titel

Advanced Calculus

Empfohlene Voraussetzungen
  • BB007: Mathematische Grundlagen für Ingenieurwissenschaften: Analysis in einer Veränderlichen, Funktionen, Grenzwerte, Differentiation und Integration.
  • BMB101: Lineare Algebra: lineare Algebra, Vektorräume, Eigenwerte und gewöhnliche Differenzialgleichungen.
  • BET401: Mathematische Methoden der Modellierung: Differenzialgleichungen, Fourier- und Laplace-Transformation sowie lineare zeitinvariante Systeme.
Lernergebnisse / Kompetenzen
WAS

Die Studierenden erwerben in diesem Modul ein auf den Kenntnissen des bisherigen Bachelor-Studiums aufbauendes Wissen und Verständnis der höheren Mathematik. Das Modul vermittelt weiterführende Grundlagen der mathematischen Analysis, die zum selbstständigen wissenschaftlichen Arbeiten in Gebieten der Ingenieurwissenschaften benötigt werden.

WOMIT

Der Kompetenzerwerb geschieht über Vorlesungen und Übungen. In den Übungen und Hausaufgaben vertiefen die Studierenden den Stoff durch das manuelle Rechnen von Übungsaufgaben. Darüber hinaus wird das Selbststudium über Lehrbücher durch Inverted-Classroom-Elemente gefördert.

WOZU

Während in den Mathematik-Pflichtmodulen die Grundlagen der Analysis behandelt werden, werden in diesem Modul die darauf aufbauenden Konzepte betrachtet. Die Vektoranalysis wird zur Beschreibung von physikalischen Feldern (z. B. in der Elektrotechnik) benötigt. Funktionen von komplexen Variablen treten im Rahmen der Laplace-Transformation auf. Mittels der Funktionentheorie werden beispielsweise Ansätze zum Berechnen von Laplace-Umkehrtransformationen aus der Systemtheorie verständlich. Die Funktionalanalysis ist ein Bindeglied zwischen Linearer Algebra und Analysis. Sie wird zur Beschreibung der Konvergenz numerischer Verfahren benötigt, beispielsweise beim iterativen Lösen von linearen Gleichungssystemen. Im Modul wird beispielsweise das Konvergenzverhalten der in der Elektrotechnik wichtigen Fourier-Reihen funktionalanalytisch untersucht.

Inhalte
  • Vektoranalysis:
    • Differenzial- und Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen: Partielle Ableitungen, Totales Differenzial, Satz von Fubini
    • Nichtlineare Extremwertrechnung
    • Kurven- und Oberflächenintegrale
    • Integralsätze von Green, Gauß und Stokes
  • Funktionentheorie:
    • Komplexe Differenzierbarkeit, Holomorphie
    • Cauchy-Integralsatz und Cauchy-Integralformel, Residuenkalkül
    • Erzeugung holomorpher Funktionen durch Potenzreihen
  • Funktionalanalysis:
    • Normierte Vektorräume, Banach- und Hilbert-Räume
    • Beschränkte lineare Operatoren, Operator-und Matrix-Normen, Dualraum
    • Banach’scher Fixpunktsatz mit Anwendung auf iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme
    • Zentrale Sätze der Funktionalanalysis, z. B. das Prinzip gleichgradiger Beschränktheit mit Anwendung auf Fourier-Reihen
Prüfungsvorleistung

aktive Praktikumsteilnahme

Prüfungsleistung

mündliche Prüfung, 30-40 Minuten

Literatur
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis (Auflage 2), Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2019, https://doi.org/10.1007/978-3-322-96755-8
  • Klaus Jänich: Funktionentheorie (Auflage 6), Springer, Berlin, 2004, https://doi.org/10.1007/3-540-35015-2
  • Steffen Goebbels und Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra (Auflage 4, Band 1), Springer Spektrum, Berlin, 2023, https://doi.org/10.1007/978-3-662-68367-5
  • Steffen Goebbels und Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzialgleichungen, Fourier- und Vektoranalysis, Laplace-Transformation und Stochastik (Auflage 4, Band 2), Springer Spektrum, Berlin, 2023, https://doi.org/10.1007/978-3-662-68369-9